2020年11月4日 / 最終更新日時 : 2021年1月1日 おーにし ベクトル解析 「基底」と「基本ベクトル」の違い 久しぶりの投稿。というか数学や物理を勉強するのが約2年ぶり。 なので軽ーいものから。 一般相対論の入り口の勉強をしていると、「基底」と「基本ベクトル」という似たような意味の2つの単語が出てきました。違いをメモしておきます […]
2018年8月15日 / 最終更新日時 : 2018年8月12日 おーにし 線形代数 「内積は順序を入れ替えても同じ」は実数ベクトル限定 高校数学で「ベクトルの内積は \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\)」と習ったと思います。 しかし実はこれはベクトルの成分が実数の場合にだけ成り立つことです。 […]
2018年8月14日 / 最終更新日時 : 2018年8月12日 おーにし 線形代数 行列どうしの内積 ベクトルどうしに内積が定義できるのと同じように、行列どうしの間にも内積を定義することができます。 このとき、例えば 2×2複素行列でしたら、4次元の複素ベクトル空間を作ることになります。 ■ 行列どうしの内積の定義式 行 […]
2018年8月13日 / 最終更新日時 : 2018年8月13日 おーにし 線形代数 群の定義 数学で群 (group) ってのが出てきます。 集合(set) とは違うのでしょうか？ ■ 群の定義 「岩波 数学入門辞典」の「群」によると、群の定義（公理）は次のように書かれています。 集合 \(G\) の任意の2元 […]
2018年8月12日 / 最終更新日時 : 2021年1月1日 おーにし 線形代数 直交行列とユニタリ―行列の性質 直交行列、ユニタリ―行列、エルミート行列、それぞれどんな行列か、覚えていますか？ 私は下図のように覚えました。 ■ 直交行列とその性質 正方行列 \(A\) の行の値と列の値を交換した（転置した）行列を \(A\) の […]
2018年8月10日 / 最終更新日時 : 2018年8月9日 おーにし 線形代数 正方行列の対角和（トレース）の性質 正方行列の対角和（トレース）の定義と性質をメモしておきます。 ■ トレースの定義 トレースとは、n次元正方行列 \(A=[a_{ij}]\) の対角成分の和 \(a_{11} + a_{22} + \cdots + a_ […]
2018年8月6日 / 最終更新日時 : 2018年8月5日 おーにし 線形代数 内積（スカラー積）が座標回転のもとで不変であることの確認 物理ではよく「ベクトルの内積は座標を回転しても変わらない」という事実を利用します。 このことを、２次元ベクトルの座標回転を例に確認しておきましょう。 （式の右側がはみだして表示される場合は、式を左右にドラッグすればスクロ […]
2018年8月5日 / 最終更新日時 : 2018年8月5日 おーにし 線形代数 内積の性質はそれほど当たり前でもない 2次元ベクトルの内積（スカラー積）は次のように定義されます。 \(\vec{x}=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right), \vec{y}=\left […]
2018年6月6日 / 最終更新日時 : 2018年6月4日 おーにし 線形代数 正方行列を分解する（対称 / 反対称、エルミート / 反エルミート） 物理や数学で、 任意の正方行列 = 1/2 * (〇〇行列 ＋ 反〇〇行列) という形に変形することがよくあります。 別々に学ぶと混乱しかねないので、並べて俯瞰しておきましょう。 ① 対称行列と反対称行列への分解 ② エ […]
2018年1月15日 / 最終更新日時 : 2018年4月18日 おーにし 線形代数 【線形代数】 添え字での行列計算に慣れる方法 行列の計算は、まずは成分を１つ１つ書くことから学ぶと思います。 例えばこんな感じ↓ $$ A = \left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & […]
