「内積は順序を入れ替えても同じ」は実数ベクトル限定

高校数学で「ベクトルの内積は \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\)」と習ったと思います。

しかし実はこれはベクトルの成分が実数の場合にだけ成り立つことです。

実数が複素数のベクトル（複素ベクトル）の内積は
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = \bar{a}_1 b_1 + \bar{a}_2 b_2 + \cdot + \bar{a}_n b_n$$で定義されていますので、
例えば \(\vec{a} = (1+2i, i), \ \ \vec{b} = (-3-i, 1-2i)\) とすると、
\begin{eqnarray}
\vec{a} \cdot \vec{b} &=& (1-2i)(-3-i) + (-i)(1-2i) = -7 + 4i \\
\vec{b} \cdot \vec{a} &=& (-3+i)(1+2i) +(1+2i)(i) = -7 – 4i\end{eqnarray}
となり、\(\vec{a} \cdot \vec{b} \ne \vec{b} \cdot \vec{a}\) です。
（\(\vec{a} \cdot \vec{b} = \overline{\vec{b} \cdot \vec{a}}\) です）


参考：
キーポイント行列と変換群 (理工系数学のキーポイント (8))