よく使う連鎖律一覧

物理でよく使う「連鎖律（chain-rule）」の一覧をまとめておきます。

下記 ①～④ のうち、本によっては ③④ だけを連鎖律と呼ぶようです。

1変数関数の場合（高校数学でも使う）

① 合成関数の微分公式

\(f = f(\tau), \tau = \tau(x)\) のとき
$$\frac{df}{dx} = \frac{df}{d\tau} \frac{d\tau}{dx}$$これは高校生で習う合成関数の微分ですね。


② 置換積分などで使う変形

\(x = x(\tau)\) のとき
$$dx = \frac{dx}{d\tau}d\tau$$これは高校生で習う置換積分で使いますね。

2変数関数の場合

③ 2変数　⇒　2変数　の組み合わせ

\(f = f(\tau_1, \tau_2), \ \tau_1 = \tau_1(x,y), \ \tau_2 = \tau_2(x,y)\) のとき

全微分
$$df = \frac{\partial f}{\partial \tau_1}d\tau_1 + \frac{\partial f}{\partial \tau_2}d\tau_2$$偏微分　　約分できないことに注意！$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial \tau_1} \frac{\partial \tau_1}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial \tau_2} \frac{\partial \tau_2}{\partial x}$$$$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial \tau_1} \frac{\partial \tau_1}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial \tau_2} \frac{\partial \tau_2}{\partial y}$$

④ 2変数　⇒　1変数　の組み合わせ

\(f = f(\tau_1, \tau_2), \ \tau_1 = \tau_1(x), \tau_2 = \tau_2(x)\) のとき

全微分
$$df = \frac{\partial f}{\partial \tau_1}d\tau_1 + \frac{\partial f}{\partial \tau_2}d\tau_2$$微分　　約分できないことに注意！$$\frac{df}{dx} = \frac{\partial f}{\partial \tau_1} \frac{d\tau_1}{dx} + \frac{\partial f}{\partial \tau_2} \frac{d\tau_2}{dx}$$