物理量を量子化する方法

■ 古典的な物理量の量子化に挑戦

今、例えば $x$ を位置、$p$ を運動量として
$$M=xp$$で表される物理量 $M$ を量子化（演算子化）したいとします。

どうすればいいでしょうか？

まず思いつくのは、機械的に文字を演算子に置き換えるだけというものです。
$$\hat{M}=\hat{x}\hat{p}$$（$\hat{x}$ は位置の演算子、$\hat{p}$ は運動量の演算子）

これでいいでしょうか？

■ エルミート演算子であることが必要条件

チェックポイントの1つに「エルミート演算子かどうか」というのがあります。
量子力学で物理量に対応する演算子は、エルミート演算子であることが必要条件だからです。
（エルミート演算子の定義はこちら）

エルミート演算子かどうかを確認するにはどうすればよいでしょうか？
ズバリ、
$$\hat{M}^\dagger-\hat{M}=0$$が成り立つかどうかを調べればOKです。エルミート演算子の定義が $\hat{M}=\hat{M}^\dagger$ ですから。

この場合ですと、
$$\hat{M}^\dagger-\hat{M}=(\hat{x}\hat{p})^\dagger-\hat{x}\hat{p}=\hat{p}^\dagger\hat{x}^\dagger-\hat{x}\hat{p}$$ここで $\hat{x}$ と $\hat{p}$ はエルミート演算子ですので $\hat{p}^\dagger=\hat{p}, \hat{x}^\dagger=\hat{x}$ が成り立ち、
$$=\hat{p}\hat{x}-\hat{x}\hat{p}=[\hat{p},\hat{x}]\ne0$$となります。つまりこのままでは $\hat{M}$ はエルミート演算子ではありません。

ではどうすれば $\hat{M}$ をエルミート演算子にできるでしょうか？

■ †（ダガー）をとったものとの平均をとればいい

一般に、任意の演算子 $\hat{A}$ は
$$\hat{A} = \frac{1}{2} \left\{ (\hat{A} + \hat{A}^\dagger) + (\hat{A} – \hat{A}^\dagger) \right\}$$と分解できます。１項目は必ずエルミート演算子になり、２項目は必ず反エルミート演算子になります。
つまり、この式の第１項だけに着目すると、$\frac{1}{2}(\hat{M}+\hat{M}^\dagger)$ ならエルミート演算子になることがわかります。

そこで、ここがミソなんですが、元々の古典的な $M$ の定義式を $M=xp$ から $M=\frac{1}{2}(xp + px)$ に変えてしまうんです。古典的な範囲では積の順序を入れ替えても等価なので影響ありませんよね？

すると、それを機械的に演算子化した $\hat{M}$ は
$$\hat{M}=\frac{1}{2}(\hat{x}\hat{p} + \hat{p}\hat{x})$$となり、これは$$\hat{M}^\dagger-\hat{M}=0$$を満たす（計算過程は上と同様なので省略）のでエルミート演算子です。

つまり、
「エルミート演算子でなければ†（ダガー）をとったものとの平均をとればいい」
というわけです。

ただしエルミート演算子であることは量子力学として扱っていくための必要条件であり十分条件ではありませんので、そのあと理論的な矛盾などが出てきた場合は改めて検討する必要があります。

参考：
・初級講座弦理論基礎編