2次元極座標での速度、加速度の求め方 (1/2)

2次元極座標で、質点の位置、速度、加速度は次のように書けます。
・位置 \(\vec{X} = r \vec{e_r} + 0 \vec{e_\theta}\)
・速度 \(\vec{V} = \dot{r} \vec{e_r} + r\dot{\theta} \vec{e_\theta}\)
・加速度 \( \vec{A} = (\ddot{r}-r\dot{\theta}^2) \vec{e_r} + (2 \dot{r} \dot{\theta} + r \ddot{\theta})\vec{e_\theta}\)
だいたいの力学の教科書では、上の速度の式を次のような図を使って導出しています。


みなさんはこの図を使った導出方法に不安を感じたことはありませんでしょうか？
私には下記２つの点で不安を感じます。

1つ目は、\(\theta\) が \(0^{ \circ }<\theta<90^{ \circ }\) 以外の場合にも同じ関係式が成り立つんだろうか？という不安です。この図のように \(\vec{X}\) も \(\vec{V}\) も第1象限の向きの場合はカバーできそうですが、そうでないとき、例えば \(sin\) や \(cos\) の符号が逆になったりしないでしょうか？

2つ目は、例えば「グニャグニャ曲がった座標系での速度や加速度は、上のような図を描いて幾何的に成分を導出するのは難しいのではないか？」という不安です。

そこで、自分なりに、図を使わずに、かつもう少し機械的に応用が利きそうな方法を考えてみました。

次回に続きます。